Question

已知函数f（x）=

ax-1

ex

．
（1）当a=1时，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若方程x-1-e^xm=0有实数解，求实数m的取值范围；
（3）若对任意t∈[

1

2

，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f′(x)=

ex-ex(x-1)

e2x

=

2-x

ex

，由此能求出f（x）在[0，3]上的最值．
（2）m=

x-1

ex

，作出f（x）=

x-1

ex

的图象，由此能求出m的取值范围．
（3）设g（t）=

at-1

e2

-t，对于任意t∈[

1

2

，2]，有g（t）＞0恒成立，从而a＞

1

t

+et，设μ(t)=

1

t

+et，a要大于μ（t）的最大值，μ′(t)=-

1

t2

+et，由此利用导数性质能证明a＞

1

2

+e2．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=

x-1

ex

，
f′(x)=

ex-ex(x-1)

e2x

=

2-x

ex

，
当f′（x）=0时，x=2，
当x∈[0，2）时，f′（x）＞0；
当x∈（2，3]时，f′（x）＜0．
∵f（0）=-1，f（2）=

1

e2

，f（3）=

2

e3

，
∴f（x）_min=f（0）=-1；
f（x）_max=f(2)=

1

e2

．
（2）∵x-1-e^xm=0，
∴m=

x-1

ex

，
对于f（x）=

x-1

ex

，图象如右图：
∴m∈（-∞，

1

e2

）．
（3）设g（t）=

at-1

e2

-t，即对于任意t∈[

1

2

，2]，有g（t）＞0恒成立，

at-1

et

-t＞0，

at-1-t•et

et

＞0，
即at-1-t•e^t＞0，at-1-t•e^t＞0，
at＞1+t•e^t，
∵t∈[

1

2

，2]，∴a＞

1

t

+et，
设μ(t)=

1

t

+et，
a要大于μ（t）的最大值，
μ′(t)=-

1

t2

+et，
令μ′（t）＞0，设t₀为-

1

t2

+et=0的根，
∵t∈[

1

2

，2]，∴t0∈(

1

2

，1)，
当t＜t₀时，μ′（t）＜0，μ（t）是减函数；
当t＞t₀时，h′（t）＞0，μ（t）是增函数，
∴在t=t₀时，取最小值，
∴在t=

1

2

或t=2处取最大值，
而μ(

1

2

)=2+

e

，μ(2)=

1

2

+e2，
∵h（2）＞h（

1

2

），∴a＞

1

2

+e2．

点评：本题考查函数在[0，3]上的最值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．