Question

3．某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万件）之间的函数关系为$Q=\frac{3x-2}{x}（x＞0）$，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为（32Q+3）•150%+x•50%，而当年产销量相等．
（1）试将年利润P（万件）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

Answer 1

分析 （1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润；
（2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的x的值．

解答 解：（1）P=（32Q+3）•150%+x•50%-（32Q+3）-x
=$\frac{1}{2}$[32（$\frac{3x-2}{x}$）+3]-$\frac{x}{2}$
=-$\frac{x}{2}$-$\frac{32}{x}$+$\frac{99}{2}$（x＞0）．
（2）-$\frac{x}{2}$-$\frac{32}{x}$+$\frac{99}{2}$=-（$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$）+$\frac{99}{2}$≤-2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{32}{x}}$+$\frac{99}{2}$=$\frac{83}{2}$．
当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{32}{x}$时，即x=8时取等号，
答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为$\frac{83}{2}$万元．

点评 本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．