Question

10£®ÒÑÖªÊýÁÐ{a_n}µÄÊ×Ïîa₁=1£¬µãA_n£¨n£¬$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$£©ÔÚÖ±Ïßy=kx+1ÉÏ£¬µ±n¡Ý2ʱ£¬¾ùÓÐ$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$£®
£¨1£©Çó{a_n}µÄͨÏʽ£»      
£¨2£©Éèb_n=$\frac{2{a}_{n}}{£¨n-1£©!}$•3ⁿ£¬ÇóÊýÁÐ{b_n}µÄÇ°nÏîºÍS_n£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©½«µãA_n£¨n£¬$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$£©´úÈëÖ±Ïß·½³Ìy=kx+1ÉÏ£¬½áºÏn=1¡¢n=2¿ÉµÃ$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=n£¬´Ó¶øa_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}•¡­•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=n£¡£»
£¨2£©Í¨¹ýb_n=$\frac{2{a}_{n}}{£¨n-1£©!}$•3ⁿ¡¢a_n=n£¡£¬¿ÉÖªb_n=2n•3ⁿ£¬´Ó¶ø¿ÉµÃS_nÓë3S_nµÄ²»µÈʽ£¬ÀûÓôíλÏà¼õ·¨¼°µÈ±ÈÊýÁеÄÇ°nÏîºÍ¹«Ê½¼ÆËã¼´µÃ½áÂÛ£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ßµãA_n£¨n£¬$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$£©ÔÚÖ±Ïßy=kx+1ÉÏ£¬
¡à$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2k+1ÇÒ$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$k+1£¬
¡àµ±n=1»òn=2ʱÓÐ$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$-$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=k£¬
¡ßµ±n=2ʱ£¬ÓÐ$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$-$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=1£¬
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ÓÖ¡ß$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$£¬
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£¨2£©¡ßb_n=$\frac{2{a}_{n}}{£¨n-1£©!}$•3ⁿ£¬a_n=n£¡£¬
¡àb_n=$\frac{2¡Án£¡}{£¨n-1£©£¡}•{3}^{n}$=2n•3ⁿ£¬
¡ßS_n=1¡Á2¡Á3+2¡Á2¡Á3²+3¡Á2¡Á3³+¡­+£¨n-1£©¡Á2¡Á3^n-1+n¡Á2¡Á3ⁿ£¬
¡à3S_n=1¡Á2¡Á3²+2¡Á2¡Á3³+¡­+£¨n-1£©¡Á2¡Á3ⁿ+n¡Á2¡Á3ⁿ⁺¹£¬
Á½Ê½Ïà¼õ£¬µÃ-2S_n=1¡Á2¡Á3+1¡Á2¡Á3²+1¡Á2¡Á3³+¡­+1¡Á2¡Á3^n-1+1¡Á2¡Á3ⁿ-n¡Á2¡Á3ⁿ⁺¹
=2£¨3+3²+3³+¡­+3^n-1+3ⁿ£©-n¡Á2¡Á3ⁿ⁺¹
=$2¡Á\frac{3¡Á£¨1-{3}^{n}£©}{1-3}$-n¡Á2¡Á3ⁿ⁺¹
=$2¡Á\frac{3}{2}¡Á{£¨3}^{n}-1£©$-n¡Á2¡Á3ⁿ⁺¹£¬
¡àS_n=n¡Á3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}¡Á£¨{3}^{n}-1£©$
=$£¨n-\frac{1}{2}£©¡Á{3}^{n+1}$+$\frac{3}{2}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÇóÊýÁеÄͨÏǰnÏîºÍ£¬ÀûÓôíλÏà¼õ·¨Êǽâ¾ö±¾ÌâµÄ¹Ø¼ü£¬×¢Òâ½âÌâ·½·¨µÄ»ýÀÛ£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮