Question

已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R）的图象过点（1，0）且在此点处的切线斜率为1．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若g（x）=

1

2

x²-mx+

3

2

，存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由已知，得出f（1）=0，f′（1）=1，列方程组求出a，b，再利用f′（x）＜0得单调减区间
（2）转化为f（x）≥g（x）在（0，+∞）上解集不空，即xlnx≥

1

2

x²-mx+

3

2

解集不空，也就是存在x使得m≥

1

2

x+

3

2x

-lnx成立，只需m≥（

1

2

x+

3

2x

-lnx）_min，通过求出（

1

2

x+

3

2x

-lnx）_min，得出实数m的取值范围

解答： 解：（1）由已知可得f（1）=0，f′（1）=1，得b=0，a=1．f（x）=xlnx，f′（x）=1+lnx（x＞0）
由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，所以函数f（x）的单调减区间为（0，

1

e

）．
（2）存在x₀∈（0，+∞）使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即f（x）≥g（x）在（0，+∞）上解集不空．
?xlnx≥

1

2

x²-mx+

3

2

解集不空?存在x使得m≥

1

2

x+

3

2x

-lnx成立
?m≥（

1

2

x+

3

2x

-lnx）min，
设h（x）=

1

2

x+

3

2x

-lnx（x＞0），h′（x）=

1

2

-

3

2x2

-

1

x

=

(x+1)(x-3)

2x3

当0＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞3时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）最小值h（3）=2-ln3，∴实数m的取值范围m≥2-ln3．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．