Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的余弦．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO，由已知条件推导出AO⊥平面BCC₁B₁，连结B₁O，则B₁O⊥BD，AB₁⊥BD，AB₁⊥A₁B，由此能证明AB₁⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）设AB₁与A₁B交于点C，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连结AF，则∠AFG为二面角A-A₁B-B的平面角，由此能求出二面角A-A₁D-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO，
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
连结B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分别为BC、CC₁的中点，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD，
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）解：设AB₁与A₁B交于点C，
在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，连结AF，
由（Ⅰ）得AB₁⊥平面A₁BD，
∴∠AFG为二面角A-A₁B-B的平面角，
在△AA₁D中，由等面积法可求得AF=

4 5

5

，
又∵AG=

1

2

AB1=

2

，
∴sin∠AFG=

AG

AF

=

2

4 5 5

=

10

4

，∴cos∠AFG=

6

4

．
∴二面角A-A₁D-B的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．