Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=a，AB⊥AC，D是棱BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面A₁DC⊥平面ADC
（Ⅱ）求平面A₁DC将此三棱柱分成的两部分的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AA₁⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面ABB₁A₁，进而AC⊥A₁D，再求出AB⊥AC，AD⊥A₁D，由此能证明A₁D⊥平面ADC．
又∵A₁D?平面A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ADC．
（Ⅱ）平面A₁DC将三棱柱分成上、下两部分，其上面部分几何体为四棱锥A-B₁C₁CD，下面部分几何体为四棱锥C-ABDA₁．由此能求出两部分几何体的体积之比．

解答 证明：（Ⅰ）在三棱柱中，有AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∵A₁D?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁D，
由AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=a，AB⊥AC，D是棱BB₁的中点．
∴AD=${A}_{1}D=\sqrt{2}a$，AA₁=2a，
则$A{D}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}$=2a²+2a²=4a²=AA₁²，∴AD⊥A₁D，
∵AD∩AC=A，∴A₁D⊥平面ADC．
又∵A₁D?平面A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ADC．
解：（Ⅱ）平面A₁DC将三棱柱分成上、下两部分，
其上面部分几何体为四棱锥A-B₁C₁CD，下面部分几何体为四棱锥C-ABDA₁．
在平面A₁B₁C₁中，过点A₁作A₁E⊥B₁C₁，垂足为E，
则A₁E⊥平面B₁C₁CD，
∴A₁E是四棱锥A₁-B₁C₁CD的高，
在Rt△A₁B₁C₁中，∵A₁B₁=A₁C₁=a，∴${A}_{1}E=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
B₁C₁CD为直角梯形，其面积${S}_{{B}_{1}{C}_{1}CD}=\frac{1}{2}（{B}_{1}D+{C}_{1}C）$•B₁C₁=$\frac{3\sqrt{2}}{2}{a}^{2}$，
∴四棱锥A₁-B₁C₁CD的体积${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CD}=\frac{1}{3}{S}_{{B}_{1}{C}_{1}CD}$•A₁E=$\frac{1}{2}{a}^{3}$．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${S}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{2}{a}^{2}•2a={a}^{3}$，
所以下部分几何体C-ABDA₁的体积${V}_{C-ABCD{A}_{1}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}{a}^{3}$，
所以两部分几何体的体积之比为1：1．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查几何体的两部分的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想是，是中档题．