Question

2．过四面体ABCD的顶点D作半径为1的球，该球与四面体ABCD的外接球相切于点D，且与平面ABC相切，若AD=2$\sqrt{3}$，∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，则四面体ABCD的外接球的半径为3．

Answer 1

分析 过D做平面ABC的垂线，垂足为H，作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则HE⊥AB，HF⊥AC，求出DH，可得DH为半径为1的球的直径，从而四面体ABCD的外接球的球心O在DH的延长线上，利用勾股定理建立方程，即可求出四面体ABCD的外接球的半径．

解答 解：过D做平面ABC的垂线，垂足为H，作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则HE⊥AB，HF⊥AC，
∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，可得∠HAE=30°，AH=$\frac{AE}{cos30°}$=2$\sqrt{2}$，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=2，
∴DH为半径为1的球的直径，从而四面体ABCD的外接球的球心O在DH的延长线上，
设四面体ABCD的外接球的半径为r，则r²=（r-2）²+（2$\sqrt{2}$）²，∴r=3．
故答案为：3．

点评 本题考查四面体ABCD的外接球的半径，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的球心O在DH的延长线上是关键．