Question

10．A、B、C、D为半径是2的球的球面上四点，已知|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，则四面体ABCD的体积的最大值为$\frac{3+2\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 根据几何体的特征，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，可得DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ

解答 解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上，且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圆半径2r=2，即r=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ，
在直角△AQO中，OA²=AQ²+OQ²，即2²=1²+OQ²，∴OQ=$\sqrt{3}$，
∴DQ=2+$\sqrt{3}$，
∴最大值为$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•$（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{3+2\sqrt{3}}{12}$，
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．