Question

17．如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E．
（1）求证：E是CD的中点；（2）求EF•FB的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA²=EF•EC，EB²=EF•EC，由此能证明AE=EB．
（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，由射影定理得EF•FC=BF²，由此能求出结果

解答 解：（1）由题可知$\widehat{BD}$是以为A圆心，DA为半径作圆，而ABCD为正方形，
∴ED为圆A的切线
依据切割线定理得ED²=EF•EB …（2分）
∵圆O以BC 为直径，∴EC是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EC²=EF•EB…（4分）
故EC=ED∴E为CD的中点．…（5分）
（2）连结CF，
∵BC为圆O的直径，
∴CF⊥BF  …（6分）
由${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BC×CE=\frac{1}{2}BE×CF$得$CF=\frac{1×2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（8分）
又在Rt△BCE中，由射影定理得$EF•FB=C{F^2}=\frac{4}{5}$．…（10分）

点评 本题考查与圆有关的线段相等的证明，考查两线段乘积的求法，解题时要注意射影定理和切割线定理的合理运用．