Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点为F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点为F（-2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点为F（-2，0），
∴由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，
∴-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
∵x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，
∴y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$，
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上，
∴（-$\frac{2m}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$）²=1，
∴m=±$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、椭圆、圆的性质的合理运用．