Question

2．已知函数f（x）=log₂（ax²+（1-3a）x+2a-1），解答下列问题：
（Ⅰ）当a=-1时，写出函数f（x）的单调递增区间（不要求过程，只要写出结果即可）；
（Ⅱ）讨论f（x）的定义域；
（Ⅲ）若对于任意的实数$t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，f（|x|）=t都有四个不同的实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=-1代入函数解析式，由真数大于0求出函数的定义域，结合复合函数的单调性求得函数的单调区间；
（Ⅱ）由真数大于0，对a分类求得函数的定义域；
（Ⅲ）函数f（|x|）是偶函数，把对于任意的实数$t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，f（|x|）=t都有四个不同的实数解转化为函数y=f（|x|）与y=t的交点问题，对a分类讨论得答案．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=log₂（-x²+4x-3），
由-x²+4x-3＞0，得1＜x＜3，由复合函数的单调性可得，f（x）在（1，2）上为增函数，
即f（x）的单调增区间为（1，2）；
（Ⅱ）由ax²+（1-3a）x+2a-1＞0，
当a=0时，化为x-1＞0，即x＞1，函数的定义域为（1，+∞）；
当a≠0时，不等式化为（ax-2a+1）（x-1）＞0，
${x}_{1}=1，{x}_{2}=\frac{2a-1}{a}=2-\frac{1}{a}$．
若a＜0，得1$＜x＜2-\frac{1}{a}$，函数的定义域为（1，2-$\frac{1}{a}$）．
若0＜a＜1，得x＜2-$\frac{1}{a}$或x＞1，函数的定义域为（-∞，2-$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞）．
若a=1，得x≠1，函数的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）．
若a＞1，得x＜1或x＞2-$\frac{1}{a}$，函数的定义域为（-∞，1）∪（2-$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅲ）当a＞1时，要使对于任意的实数$t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，f（|x|）=t都有四个不同的实数解，
只需f（0）=log₂（2a-1）≥1，即2a-1≥2，得a$≥\frac{3}{2}$．
当a=1时，要使对于任意的实数$t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，f（|x|）=t都有四个不同的实数解，
只需f（0）=log₂（2a-1）≥1，即2a-1≥2，得a$≥\frac{3}{2}$（舍）．
当$\frac{1}{2}＜$a＜1时，要使对于任意的实数$t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，f（|x|）=t都有四个不同的实数解，
只需f（0）=log₂（2a-1）≥1，即2a-1≥2，得a$≥\frac{3}{2}$（舍）．
当0≤a$≤\frac{1}{2}$时，f（0）无意义（舍）．
当a＜0时，要使对于任意的实数$t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，f（|x|）=t都有四个不同的实数解，
只需log₂（$-\frac{（a-1）^{2}}{4a}$）≥1，即$-\frac{（a-1）^{2}}{4a}$≥2，解得a$≤-3-2\sqrt{2}$或-3+2$\sqrt{2}$＜a＜0．
综上，满足题意的实数a的取值范围为a$≤-3-2\sqrt{2}$或-3+2$\sqrt{2}$≤a＜0或a$≥\frac{3}{2}$．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查函数定义域的求法，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．