Question

如图，在长方体中,，点是棱AB上的一个动点 .

(Ⅰ)证明:；

(Ⅱ)当为的中点时，求点到面的距离；         

(Ⅲ)线段的长为何值时，二面角的大小为.

 

Answer 1

解法一

(Ⅰ)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面，．     

(Ⅱ)等体积法

由已知条件可得，，，所以为等腰三角形，

=， ，设点到平面的距离，根据可得，，即，

解得．

(Ⅲ)过点作于，连接．

因为平面，所以

，又，∩，所以平面，

故，为二面角的平面角，所以，，，，，由可得，．

解法二:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,

设,则

 

(I)              因为  所以，即.

(II)          (II)因为为的中点,则，从而,

,设平面的法向量为,则

也即,得, 设，从而，所以点到平面的距离为

 

(Ⅲ)设平面的法向量,

∴

由     令,

∴

依题意

∴ (不合,舍去), .

∴时,二面角的大小为