Question

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．若DB=BE=EA，则过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明

专题：立体几何

分析：如图所示．连接BC，EF．由于DC是△ABC的外接圆的切线，可得∠DCB=∠EAF．已知BC•AE=DC•AF，可得

BC

AF

=

DC

AE

．进而得到△BCD≌△FAE．于是∠CBD=∠AFE．由于E，F，C四点共圆．可得∠AFE=∠CBE．
于是∠CBD=∠CBE．进而得到∠CBE=90°．AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径．
不妨设DB=1．则BE=EA=DB=1．利用切割线定理可得：DC²=DB•DA．在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．可得CE=DC．
在Rt△CBE中，CB²=CE²-BE²．在Rt△ABC中，AC²=BC²+AB²．可得：过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=

π( CE 2 )2

π( AC 2 )2

=

CE2

AC2

即可得出．

解答： 解：如图所示．
连接BC，EF．∵DC是△ABC的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF．
∵BC•AE=DC•AF，∴

BC

AF

=

DC

AE

．
∴△BCD≌△FAE．
∴∠CBD=∠AFE．
∵E，F，C四点共圆．
∴∠AFE=∠CBE．
∴∠CBD=∠CBE．
又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°．
∴AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径．
不妨设DB=1．则BE=EA=DB=1．
由切割线定理可得：DC²=DB•DA=1×3，DC=

3

．
在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．∴CE=DC=

3

．
在Rt△CBE中，CB²=CE²-BE²=(

3

)2-12=2．
在Rt△ABC中，AC²=BC²+AB²=2+2²=6．
∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=

π( CE 2 )2

π( AC 2 )2

=

CE2

AC2

=

3

6

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题综合考查了圆的性质、切割线定理、四点共圆的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆的面积之比等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．