Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F₁，F₂，离心率e=

2

2

，P为椭圆上任一点，且△PF₁F₂的最大面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为

2

2

的直线l交椭圆C于A，B两点，且以AB为直径的圆恒过原点O，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得bc=1，e=

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=

2

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y= 2 2 x+m x2 2 +y2=1

，得2x²+2

2

mx+2m2-2=0，由此利用韦达定理、圆的性质、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△AOB的面积．

解答： 解：（1）设P（x₀，y₀），△PF₁F₂的面积S=|y₀|c，又|y₀|≤b，
∴△PF₁F₂的最大面积为bc=1，
∵离心率e=

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²，
∴a=

2

，b=c=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=

2

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y= 2 2 x+m x2 2 +y2=1

，得2x²+2

2

mx+2m2-2=0，
x1+x2=-

2

m，x1x2=m2-1，
y₁y₂=（

2

2

x1+m）（

2

2

x2+m）=

1

2

x1x2+

2

2

m(x1+x2)+m2，
∵以AB为直径的圆恒过原点O，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

3

2

x1x2+

2

2

m(x1+x2)+m2=

3

2

(m2-1)=0，
∴m²=1，
∵原点O（0，0）到直线y=

2

2

x+m的距离为|m|，
∴S_△AOB=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

2

．
∴△AOB的面积为

2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要注意韦达定理、圆的性质、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．