Question

15．已知△ABC的顶点B（-5，0），C（5，0），且sinC+sinB=2sinA，则顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1（y≠0）．

Answer 1

分析 由sinC+sinB=2sinA，可得BA+CA=2BC，利用B（-5，0），C（5，0），CA+BA=20＞CB，符合椭圆定义，所以△ABC的顶点A的轨迹方程可求．

解答 解：∵sinC+sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得BA+CA=2BC，
∵B（-5，0），C（5，0），
∴BA+CA=20＞CB，
∴△ABC的顶点A的轨迹是以B、C为焦点，长轴长为20的椭圆（除去与x轴的两个交点）．
∴a=10，c=5，∴b²=a²-c²=75，
∴△ABC的顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1（y≠0）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1（y≠0）．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．