Question

9．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
（3）求当x为何值时，函数取最大值，并求最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值；
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（3）结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值，即可求x的值．

解答 解：函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）
化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）
（1）最小正周期为π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，解得：ω=1．
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）
令 $2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）．
解得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{π}{8}$，
∴f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（3）∵sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
当f（x）的取值最大值$\sqrt{2}$时，即$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
此时$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z），
解得：$x=kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z），
∴当$x=kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z）时函数取最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．