Question

17．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0．若x•f（x-1）＞0，则x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，3）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为x＞0时f（x-1）＞f（2），x＜0时，f（x-1）＜f（-2），即可得到结论．

解答 解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）递增，f（-2）=0；
∴x＞0时，不等式xf（x-1）＞0等价为f（x-1）＞f（2），
即x-1＜2，解得：0＜x＜3；
x＜0时：不等式xf（x-1）＞0等价为f（x-1）＜f（-2），
即x-1＜-2，解得：x＜-1，
故答案为：（-∞，-1）∪（0，3）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（x-1）＞f（2）或f（x-1）＜f（-2）是解决本题的关键．