Question

19．设{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由{a_n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a₁=2，a₃=a₂+4可求得q，即可求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵设{a_n}是公比为正数的等比数列，
∴设其公比为q，q＞0
∵a₃=a₂+4，a₁=2
∴2×q²=2×q+4，
解得q=2或q=-1．
∵q＞0，
∴q=2，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ．
①当n=1时，S₁=b₁=2；
②当n≥2时，
S_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得
-S_n=1×2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6．
∴S_n=6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹．
经验证，当n=1时，也适合S_n=6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹．
故数列{b_n}的前n项和S_n=6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．