Question

10．若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，$\frac{S_8}{S_4}=3则\frac{{{S_{16}}}}{S_4}$=（　　）

• A． 3
• B． 7
• C． 10
• D． 15

Answer 1

分析 根据等比数列的性质可知：可设其中公比为q，根据$\frac{{S}_{8}}{{S}_{4}}$=3求出q⁴，再代入$\frac{{S}_{16}}{{S}_{4}}$进行求解．

解答 解：∵据$\frac{{S}_{8}}{{S}_{4}}$=3，（q≠1），若q=1可得据$\frac{{S}_{8}}{{S}_{4}}$=2≠3，故q≠1，
∴$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{8}}{1-{q}^{4}}$=3，化简得1-q⁸=3（1-q⁴），可得q⁸-3q⁴+2=0，解得q⁴=1或2，q≠1，解得q⁴=2，
$\frac{{S}_{16}}{{S}_{4}}$=$\frac{1-{q}^{16}}{1-{q}^{4}}$=$\frac{1-{2}^{4}}{1-2}$=15．
故选：D．

点评 此题主要考查等比数列前n项和，利用等比数列的性质，是一道中档题．