Question

5．已知数列{a_n}满足${a_n}={2^n}$，则数列{a_n•b_n}满足对任意的n∈N⁺，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=${2^n}-\frac{n}{2}-1$，则数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{2}$．

Answer 1

分析 对任意的n∈N⁺，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=${2^n}-\frac{n}{2}-1$，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n-1，相减求得b_n=$\frac{1}{4}$n，可得a_n•b_n=$\frac{1}{4}$n•2ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_n}={2^n}$，
由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-$\frac{1}{2}$n-1，①
令n=1，则b₁a₁=2-$\frac{1}{2}$-1，解得b₁=$\frac{1}{4}$．
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-$\frac{1}{2}$n-1，
当n≥2时，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2^n-1-$\frac{1}{2}$（n-1）-1，
将上式两边同乘公比2得，b₁a_n+b₂a_n-1+…b_n-1a₂=2ⁿ-n-1．②
①-②可得：b_na₁=$\frac{1}{2}$n，（n≥2），
由a₁=2，可得b_n=$\frac{1}{4}$n，对n=1也成立，
则a_n•b_n=$\frac{1}{4}$n•2ⁿ，
T_n=$\frac{1}{4}$（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），
可得2T_n=$\frac{1}{4}$（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹），
两式相减可得-T_n=$\frac{1}{4}$（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹），
化简可得T_n=$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式的运用和数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．