Question

6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=2，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{DC}$．
（1）若λ=1，求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（2）若二面角B₁-A₁C₁-D的大小为60°，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．
（2）求出平面A₁C₁D的法向量和平面A₁B₁C₁的一个法向量，利用向量法能求出实数λ的值．

解答 解：（1）分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（0，4，2），…（2分）
当λ=1时，D为BC的中点，∴D（1，2，0），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，2，-2），
设平面A₁C₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，
得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
又cos＜$\overrightarrow{D{B}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{3\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
∴直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=$λ\overrightarrow{DC}$，∴D（$\frac{2}{λ+1}$，$\frac{4λ}{λ+1}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{2}{λ+1}$，$\frac{4λ}{λ+1}$，-2），
设平面A₁C₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=\frac{2}{λ+1}x+\frac{4λ}{λ+1}y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（λ+1，0，1）．…（8分）
又平面A₁B₁C₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角B₁-A₁C₁-D的大小为60°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{（λ+1）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\sqrt{3}-1$或$λ=-\sqrt{3}-1$（不合题意，舍去），
∴实数λ的值为$\sqrt{3}-1$．…（10分）

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．