Question

18．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AA₁的中点，则点C₁到平面BDE的距离为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连接AC，与BD交于O，连接OE，作C₁F⊥OE，证明C₁O即为所求．

解答 解：如图所示，连接AC，与BD交于O，连接OE，作C₁F⊥OE．
∵BD⊥平面A₁C₁CA，BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面A₁C₁CA，
∵平面BDE∩平面A₁C₁CA=OE，C₁F⊥OE，
∴C₁F⊥平面BDE．
△C₁OE中，C₁E=3，C₁O=$\sqrt{6}$，EO=$\sqrt{3}$，
∴C₁O²+EO²=C₁E²，
∴C₁O⊥OE，即O，F重合，
∴点C₁到平面BDE的距离为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查点C₁到平面BDE的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．