Question

10．已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是（　　）
①函数f（x）的最小正周期是2π
②函数f（x）的图象可由函数g（x）=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到
③函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称
④函数f（x）在区间[$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}$]上是增函数．

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根据函数f（x）的部分图象，求出f（x）的解析式，利用解析式判断选项中的命题是否正确即可．

解答 解：根据函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象知，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，ω=2；
令2×（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，解得φ=$\frac{π}{3}$；
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
∴函数f（x）的最小正周期是π，①错误；
g（x）=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=sin2（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，不是f（x）的图象，②错误；
当x=$\frac{π}{12}$时，f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=1，∴函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，③正确；
当x∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，函数f（x）单调递减，④错误；
综上，正确的命题是③．
故选：C．

点评 本题考查了根据函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象求解析式的应用问题，是基础题目．