Question

在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，线段MN分别交BC，AB于点M，N，若线段MN分△ABC为面积相等的两部分，求线段MN长度的最小值．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：由题意可知△ABC为直角三角形，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设出MN所在直线方程y=kx+b，求出AB所在直线方程，联立求得N的坐标，由△MBN的面积是△ABC面积的一半得到k与b的关系，由两点间的距离公式得到|MN|，转化为含有k的代数式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：如图，

以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可知直线MN的斜率存在，
设其所在直线方程为y=kx+b，
则k＞-

4

3

，0＜b＜4，
AB所在直线方程为

x

3

+

y

4

=1，
联立

y=kx+b 4x+3y-12=0

，得

x= 12-3b 3k+4 y= 12k+4b 3k+4

，
∴N（

12-3b

3k+4

，

12k+4b

3k+4

），
又|BM|=4-b，
∴S_△MNB=

1

2

•(4-b)•

12-3b

3k+4

=

1

4

×3×4，
整理得：b²-8b=6k-8．
|MN|=

( 12-3b 3k+4 )2+( 12k+4b 3k+4 -b)2

=3

2

k2+1 3k+4

=3

2

1 9 (3k+4)+ 25 9 • 1 3k+4 - 8 9

≥3

2

2× 5 9 - 8 9

=2．
当且仅当

3k+4

9

=

25

9(3k+4)

，即k=

1

3

时上式等号成立．
∴MN长度的最小值为2．

点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的灵活变换能力和计算能力，是中档题．