Question

已知数列{a_n}满足下列条件：
①首项a₁=a，（a＞3，a∈N^*）；
②当a_n=3k，（k∈N^*）时，a_n+1=

an

3

；
③当a_n≠3k，（k∈N^*）时，a_n+1=a_n+1．
（Ⅰ）当a₄=1，求首项a之值；
（Ⅱ）当a=2014时，求a₂₀₁₄；
（Ⅲ）试证：正整数3必为数列{a_n}中的某一项．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）当a₄=1时，则a₃=3，再考虑a₂，即可得出结论；
（II）当a=2014时，求出数列的项，得出期为3的数列，即可求出a₂₀₁₄；
（Ⅲ）分类讨论，证明当a_n＞3时，必有a_n-a_n+3＞0，因an∈N*，故a_n-a_n+3≥1，即可得出结论．

解答： （I）解：当a₄=1时，因为a_n+1=

an

3

，所以a₃=3，
此时，若a₂=2，则a=6；
若a₂=9，则a=27或8，
综上所述，a之值为6或8或27．                       …（4分）
（II）解：当a=2014时，a₂=2015，a₃=2016，a₄=672，a₅=224，
a₆=225，a₇=75，a₈=25，a₉=26，a₁₀=27，a₁₁=9，a₁₂=3，a₁₃=1，a₁₄=2，a₁₅=3，
以下出现周期为3的数列，
从而a₂₀₁₄=a₁₃=1；        …（8分）
（III）证明：由条件知：若an=3k，(k∈N*)，则an+1=

an

3

，an+3≤

an

3

+2；
若an=3k+1，(k∈N*)，则a_n+1=a_n+1=3k+2，a_n+2=3k+3，
an+3=k+1＜

1

3

an+2；
若an=3k+2，(k∈N*)，则a_n+1=a_n+1=3k+3，an+2=

1

3

(an+1)，an+3≤

1

3

(an+1)+1＜

1

3

an+2；                             …（13分）
综上所述，an+3≤

1

3

an+2，从而an-an+3≥

2

3

(an-3)，
故当a_n＞3时，必有a_n-a_n+3＞0，因an∈N*，故a_n-a_n+3≥1，
所以数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3（否则会与上述结论矛盾！）
若a_m=3，则a_m+1=1，a_m+2=2；
若a_m=2，则a_m+1=3，a_m+2=1，
若a_m=1，则a_m+1=2，a_m+2=3，
综上所述，正整数3必为数列{a_n}中的某一项．              …（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．