Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+1

是R上的奇函数
（1）求a的值；
（2）用定义证明该函数在[1，+∞）上的单调性，并求当x∈[2，5]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数是奇函数，由f（0）=0即可得到a的值．
（2）利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+1

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即a=0，
此时f（x）=

x

x2+1

是奇函数．
（2）设x₁，x₂，是[1，+∞）上的任意两个数，且1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=

(x2-x1)(x1x2-1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂），即函数是减函数．
∴当x∈[2，5]时，函数的最大值为f（2）=

2

22+1

=

2

5

，
函数的最小值为f（5）=

5

25+1

=

5

26

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．