题目内容
已知数列{an}满足a1=18，an+1-an=3n，则
的最小值为 ．
| an |
| n |
考点：数列递推式
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：利用叠加法求数列的通项，再利用导数和函数的单调性，可求
的最小值．
| an |
| n |
解答：
解：∵an+1-an=3n，a1=18，
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=18+3[（1+2+…+（n-1）]=18+
=18+
n（n-1），
∴
=
+
-
，
设f（x）=
+
-
，
∴f′（x）=-
+
，
当f′（x）＞0，即x＞2
，函数f（x）为增函数，
当f′（x）＜0，即x＜2
，函数f（x）为减函数，
当x=2
时函数有最小值，
∵f（3）=
+
-
=9，f（4）=
+
-
=9，
∴当n=3，或n=4时，则
的最小值为9，
故答案为：9
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=18+3[（1+2+…+（n-1）]=18+
| 3(n-1)(1+n-1) |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| an |
| n |
| 18 |
| n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设f（x）=
| 18 |
| n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴f′（x）=-
| 18 |
| x2 |
| 3 |
| 2 |
当f′（x）＞0，即x＞2
| 3 |
当f′（x）＜0，即x＜2
| 3 |
当x=2
| 3 |
∵f（3）=
| 18 |
| 3 |
| 3×3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 18 |
| 4 |
| 12 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴当n=3，或n=4时，则
| an |
| n |
故答案为：9
点评：本题考查叠加法求数列的通项，考查导数和函数的单调性的关系，正确确定数列的通项是关键．
练习册系列答案
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