Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、[0，2]
• C、（1，2）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足k_AC＜a＜k_AB，运用斜率公式即可．

解答： 解：由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，
当x∈[0，1]时，f（x）=2x，
又f（x）为偶函数，则当x∈[-1，0]时，f（x）=-2x，
由ax+a-f（x）=0得f（x）=ax+a，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a的斜率必须满足k_AC＜a＜k_AB，由题意可得A（-1，0），B（1，2），C（3，2），则k_AC=

2-0

3+1

=

1

2

，k_AB=

2-0

1+1

=1．
即有

1

2

＜a＜1．
故选A．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性和周期性及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．