题目内容
10．已知点P在抛物线x2=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=-1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1、B1，试判断直线A1F与B1F的位置关系，并证明你的结论．
分析 （Ⅰ）设P（x0，y0），由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$知点P为线段DM的中点，$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{1}{2}x\\{y_0}=y\end{array}\right.$，利用点P在抛物线x2=y上，然后求解曲线C的方程．
（Ⅱ）判断：直线A1F与B1F垂直，证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，-1），B1（x2，-1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，通过计算$\overrightarrow{{A}_{1}F}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$的数量积，推出结果．
解答 （本小题满分12分）
解（Ⅰ）设P（x0，y0），由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$知点P为线段DM的中点，故$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{1}{2}x\\{y_0}=y\end{array}\right.$…（2分）
因为点P在抛物线x2=y上，故${x_0}^2={y_0}$，从而${（\frac{1}{2}x）^2}=y$…（4分）
即曲线C的方程为x2=4y…（5分）
（Ⅱ）判断：直线A1F与B1F垂直，…（6分）
证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，-1），B1（x2，-1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1．…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得：x2-4kx-4=0…（8分）
所以x1x2=-4，…（9分）
因为 $\overrightarrow{{A_1}F}=（-{x_1}，2）$，$\overrightarrow{{B_1}F}=（-{x_2}，2）$，…（10分）
故$\overrightarrow{{A_1}F}•\overrightarrow{{B_1}F}={x_1}{x_2}+4=0⇒\overrightarrow{{A_1}F}⊥\overrightarrow{{B_1}F}$…（11分）
所以直线A1F与B1F垂直．…（12分）
（其它解法参照给分）
点评 本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积与直线的垂直关系，考查转化思想以及计算能力．
| A． | 奇函数且在（-∞，+∞）上是增函数 | B． | 奇函数且在（-∞，+∞）上是减函数 | ||
| C． | 偶函数且在（-∞，+∞）上是增函数 | D． | 偶函数且在（-∞，+∞）上是减函数 |
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 2$\sqrt{2}$ |