Question

在函数f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），总能使得f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：导数的几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：不妨设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，由f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），可得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥4，即函数f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围．

解答： 解：不妨设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂），
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥4，
∵f（x）=alnx+（x+1）²，（x＞0）
∴f′（x）=

a

x

+2（x+1）
∴

a

x

+2（x+1）≥4，
∴a≥-2x²+2x
∵-2x²+2x=-2（x-

1

2

）²+

1

2

≤

1

2

∴a≥

1

2

，
故答案为：a≥

1

2

点评：本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x₁）-f（x₂）≥4（x₁-x₂）的几何意义，是解答的关键．