Question

已知数列{a_n}满足a₁=x，a₂=3x，Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若数列{a_n}为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项a_n；
（ⅱ）若数列{b_n}满足bn=2an，数列{c_n}满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn，试比较数列{b_n}前n项和B_n与{c_n}前n项和C_n的大小；
（2）若对任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）（ⅰ）由已知可得，an+1+an+an-1=3n2+2-(3n2-6n+5)=6n-3．再结合等差中项的性质即可求出数列的通项公式a_n；
（ⅱ）根据（ⅰ）可知bn=2an=2^2n-1，cn=t2bn+2-tbn+1-bn=（16t²-4t-1）b_n．从而B_n=b₁+b₂+…+b_n，C_n=c₁+c₂+…+c_n=（16t²-4t-1）（b₁+b₂+…+b_n）．只需比较16t²-4t-1与1的大小即可得出B_n与C_n的大小关系；
（2）利用已知条件得出a_n+3-a_n=6（n≥2，n∈N^*）．然后分n=3k-1，n=3k，n=3k+1三种情况讨论，列出不等式组解答即可．

解答： 解：（1）（ⅰ）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，①
∴Sn+Sn-1+Sn-2=3(n-1)2+2=3n²-6n+5（n≥3，n∈N^*）．②
①-②，得
an+1+an+an-1=3n2+2-(3n2-6n+5)=6n-3．
∵数列{a_n}为等差数列，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n．
∴3a_n=6n-3．
∴a_n=2n-1（n≥3）③
当n=1时，
a₁=1，a₂=3符合③式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（ⅱ）∵a_n=2n-1．
∴bn=2an=2^2n-1，
∴cn=t2bn+2-tbn+1-bn
=（16t²-4t-1）b_n．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n，
C_n=c₁+c₂+…+c_n
=（16t²-4t-1）（b₁+b₂+…+b_n）．
当16t²-4t-1=1，即t=

1

2

或t=-

1

4

时，B_n=C_n．
当16t²-4t-1＞1，即t＞

1

2

或t＜-

1

4

时，B_n＜C_n．
当16t²-4t-1＜1，即-

1

4

＜t＜

1

2

时，B_n＞C_n．
（2）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，④
∴Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2（n∈N^*）⑤
④-⑤，得
an+2+an+1+an=6n+3(n≥2，n∈N*)．⑥
∴an+3+an+2+an+1=6(n+1)+3(n∈N*)⑦
⑥-⑦，得
a_n+3-a_n=6（n≥2，n∈N^*）．
∴当n=1时，a_n=a₁=x．
当n=3k-1时，
a_n=a_3k-1=a₂+（k-1）×6
=3x+6k-6
=2n+3x-4．
当n=3k时，
a_n=a_3k=a₃+（k-1）×6
=14-9x+6k-6
=2n-9x+8．
当n=3k+1时，
a_n=a_3k+1=a₄+（k-1）×6
=1+6x+6k-6
=2n+6x-7，
∵对任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴a₁＜a₂且a_3k-1＜a_3k＜a_3k+1＜a_3k+2．
∴

x＜3x 6k+3x-6＜6k-9x+8 6k-9x+8＜6k+6x-5 6k+6x-5＜6k+3x

解得，

13

15

＜x＜

7

6

．
∴实数x的取值范围为(

13

15

，

7

6

)．

点评：本题考查等差数列，等比数列的性质，数列与不等式的综合问题的解答等知识，属于难题．