Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^-x在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导由题意得f'（1）=0⇒b=1，（2）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围和导数符号，从而求出数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+b）e^-x，
∴f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+b）e^-x=[-x²+（2-a）x+（a-b）]e^-x，
由题意在x=1处取得极值得f'（1）=0，
∴e^-1（1-b）=0，
∴b=1，
经检验，b=1符合题意；
（2）由（1）得f（x）=（x²+ax+1）e^-x，
令f′（x）=[-x²+（2-a）x+（a-1）]e^-x=-（x-1）[x-（1-a）]e^-x，
e^-x＞0对任意x∈R都成立，
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=1-a，
①当1=1-a即a=0时，f′（x）≤0，函数在R上单调递减；
②当a＞0即1-a＜1时，令f′（x）＞0，得1-a＜x＜1，则函数在（1-a，1）上单调递增，
令f′（x）＜0，得x＜1-a或x＞1，则函数在（-∞，1-a）和（1，+∞）上单调递减；
③当a＜0即1-a＜1时，令f′（x）＞0，得1＜x＜1-a，则函数在（1，1-a）上单调递增，
令f′（x）＜0，得x＜1或x＞1-a，则函数在（-∞，1）和（1-a，+∞）上单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，确定函数的单调性是关键．