题目内容
某省级示范高中2015年有向甲、乙、丙三所大学推荐保送生的名额，根据这三所大学保送生推荐的条件，该校共有四名学生符合推荐条件学校按照保送生推选的程序，首先由这四名学生各自自主申请，每位申请人只能申请一所大学的保送名额，已知这四名学生申请其中任一所大学都是等可能的，而且他们在申请时互不影响．
（1）求恰有两位学生都申请甲这所大学的概率；
（2）记这四位学生所申请的大学的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（3）对于（2）中的ξ，设“函数f（x）=3sin
π，x∈R是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．
（1）求恰有两位学生都申请甲这所大学的概率；
（2）记这四位学生所申请的大学的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（3）对于（2）中的ξ，设“函数f（x）=3sin
| x+ξ |
| 2 |
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：计算题,概率与统计
分析：（1）四位学生申请大学共有3×3×3×3=81种，恰有两位学生都申请甲这所大学有
•2•2=24种，从而示概率；
（2）ξ的取值有1，2，3；分别求概率得到分布列，并求数学期望；
（3）由古典概型概率公式求概率．
| C | 2 4 |
（2）ξ的取值有1，2，3；分别求概率得到分布列，并求数学期望；
（3）由古典概型概率公式求概率．
解答：
解：（1）四位学生申请大学共有3×3×3×3=81种，
恰有两位学生都申请甲这所大学有
•2•2=24种，
故恰有两位学生都申请甲这所大学的概率为
=
；
（2）由题意，ξ的取值有1，2，3；
故分布列为
数学期望Eξ=1×
+2×
+3×
=
；
（3）在1，2，3中，函数f（x）=3sin
π，x∈R是偶函数时，ξ=1或3；
故事件D发生的概率为
．
恰有两位学生都申请甲这所大学有
| C | 2 4 |
故恰有两位学生都申请甲这所大学的概率为
| 24 |
| 81 |
| 8 |
| 27 |
（2）由题意，ξ的取值有1，2，3；
故分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 27 |
| 14 |
| 27 |
| 4 |
| 9 |
| 65 |
| 27 |
（3）在1，2，3中，函数f（x）=3sin
| x+ξ |
| 2 |
故事件D发生的概率为
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了离散型随机变量的概率及数学期望的求法，属于基础题．
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