Question

4．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$，若平面向量$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow c•\overrightarrow a=\overrightarrow c•\overrightarrow b$=2，则$|{\overrightarrow c}|$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 设出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$夹角为α，则$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$夹角为（$\frac{2}{3}π-α$），由平面向量$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow c•\overrightarrow a=\overrightarrow c•\overrightarrow b$=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$夹角为α，则$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$夹角为（$\frac{2}{3}π-α$），
由平面向量$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow c•\overrightarrow a=\overrightarrow c•\overrightarrow b$=2，得到$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|cosα=|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{b}|cos（\frac{2π}{3}-α）$，
整理得到sin$α=\frac{2}{\sqrt{3}}cosα$，代入sin²α+cos²α=1得到cosα=$±\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以|$\overrightarrow{c}$|=$|\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a|}cosα}|$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$

点评 本题考查了利用平面向量的数量积公式求模长；属于中档题．