Question

【题目】四面体P﹣ABC中，PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，动点Q在△ABC的内部（含边界），设∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小为β，△APQ和△BCQ的面积分别为S1和S2，且满足，则S2的最大值为_____.

Answer 1

【答案】4﹣2.

【解析】

取BC的中点M，由题意可得AM＝PM＝PA，则β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，则sinα，再由BC＝2PA＝2，可得AQ＝QH，即Q为三角形ABC内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S2最大，求出S2的最大值.

如图所示：

取BC的中点M，连接AM，PM，

因为PB＝PC＝AB＝AC，

AM⊥BC，PM⊥BC，且PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，

所以AM＝PM＝PA，

所以β＝∠PMA＝60°，

作QH⊥BC于H，

所以sinα，

所以

而BC＝2PA＝2，

所以AQ＝QH，

所以Q的轨迹是△ABC内的一条抛物线，

当Q在AB或AC上时，S2最大，

不妨设在AB上，此时，

即，

解得AQ＝QH＝2（1），

所以S2＝4﹣2.

故答案为：4﹣2