题目内容
【题目】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.
【答案】(Ⅰ) f(x)=x2+
.(Ⅱ) 见详解
【解析】
试题(Ⅰ)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a="1," ∴f1(x)= x2.设f2(x)=
(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(
,)，B(－,－)
由
=8,得k="8,." ∴f2(x)=
.故f(x)=x2+.
(Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+
,
即=－x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=和
f3(x)= －x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐
标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)="4," f3(2)= －4+a2+，当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
（证法二）由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x－a)(x+a－
)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a－=0化为ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=
, x3=
,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=,则3a2=
, a4=4a,得a=0或a=
,这与a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.
