题目内容
20．已知：∠ABC为直角三角形，∠A=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC，若沿AB及AC方向的两个力$\overline{AP}$，$\overline{AQ}$的大小分别为$\frac{1}{c}$，$\frac{1}{b}$．①试求$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的大小
②求证：$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的方向与$\overline{AD}$的方向相同．
分析 ①把向量$\overline{AP}$，$\overline{AQ}$分别用三角形的边长及$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，求出$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）^{2}$，则$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的大小可求；
②由已知可得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，然后证明（$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0得答案．
解答 
①解：由题意可得：$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}}，\overrightarrow{AQ}=\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}}$，
∴$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）^{2}=（\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}}）^{2}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{{c}^{4}}+2\frac{1}{{c}^{2}{b}^{2}}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{{b}^{4}}$
=$\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}+{b}^{2}}$．
∴$|\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}|=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{a}{{c}^{2}+{b}^{2}}\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$；
②证明：∵AD⊥BC，∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$．
又（$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{{b}^{2}}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{{c}^{2}}-\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{{b}^{2}}$
=$-\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{b}^{2}}=0$．
∴$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的方向与$\overline{AD}$的方向相同．
点评 本题考查向量几何合中的应用，考查了向量方向上的单位向量，考查向量加法、减法的三角形法则，是中档题．
| A． | $±\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | -$\frac{1}{3}$ | D． | ±$\frac{\sqrt{2}}{3}$ |
如图四棱锥P-ABCD中，PB=PC，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$．