Question

11．设等比数列{a_n}的公比为q，若a₅=4，a₈=32，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，数列{$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$}的前n项和为T_n．求证：T_n≤$\frac{n}{2}$-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n-3}$=n-3，利用分组求出数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$，从而$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{5}{2n}$，由此能证明T_n≤$\frac{n}{2}$-$\frac{5}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的公比为q，a₅=4，a₈=32，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{4}=4}\\{{a}_{1}{q}^{7}=32}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=\frac{1}{4}，q=2$，
∴a_n=$（\frac{1}{4}）•{2}^{n-1}$=2^n-3．
证明：（2）∵b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n-3}$=n-3，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=（1+2+3+…+n）-3n
=$\frac{n（n+1）}{2}-3n$
=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}-\frac{5}{2n}$，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$}的前n项和：T_n=$\frac{n}{2}$-$\frac{5}{2}$（1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$），
∴T_n≤$\frac{n}{2}$-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查关于数列前n项和的不等式的证明，是中档题，解题时要注意等比数列、等差数列的性质和分组求和法的合理运用．