Question

9．己知数列{log₂（a_n-1）}为等差数列，且a₁=3，a₂=5．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$的值．

Answer 1

分析 （1）数列{log₂（a_n-1）} 公差d=log₂4-log₂2=1，从而${log}_{2}\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=1，由此能证明数列{a_n-1}是以2为底，以2为首项的等比数列．
（2）由${a}_{n}={2}^{n}+1$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此能求出$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$的值．

解答 证明：（1）∵数列{log₂（a_n-1）}为等差数列，a₁=3，a₂=5．
设数列{log₂（a_n-1）} 公差为d，
∴d=log₂4-log₂2=1，
∴log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=${log}_{2}\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=2，a₁-1=2，
∴数列{a_n-1}是以2为底，以2为首项的等比数列．
（2）∵数列{a_n-1}是以2为底，以2为首项的等比数列，
∴a_n-1=2ⁿ，∴${a}_{n}={2}^{n}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．