Question

如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.

（1）当时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）即点可在圆内，圆上或圆外
（3）时，能使的边长是连续的自然数

解：∵的右焦点  ∴椭圆的半焦距，又，
∴椭圆的长半轴的长，短半轴的长.  椭圆方程为.
（1）当时，故椭圆方程为， 3分
（2）依题意设直线的方程为：，
联立 得点的坐标为.
将代入得.
设、，由韦达定理得，.
又，.


∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。
即点可在圆内，圆上或圆外.   ………………………………9分
（3）假设存在满足条件的实数，  由解得：.
∴，，又.
即的边长分别是、、 . ∴时，能使的边长是连续的自然数。 14分
点评：解决该试题的关键是熟练的运用椭圆的简单几何性质来求解参数a,b,c的值，得到方程，并利用联立方程组的思想求解弦长，抛物线的定义是解决的关键点。属于基础题。