Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若tanα=2$\sqrt{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最大值；
（2）利用正切函数表示出f（α），计算f（α）的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x，
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1        …（2分）
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1；   …（4分）
当2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z时，
f（x）取得最大值为1；  …（6分）
（2）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x，
那么：f（α）=$\sqrt{3}$sin2α-2cos²α
=$\frac{2\sqrt{3}sinαcosα-{2cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$                    …（9分）
=$\frac{2\sqrt{3}tanα-2}{{tan}^{2}α+1}$，…（11分）
又tanα=2$\sqrt{3}$，
所以f（α）=$\frac{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}-2}{{（2\sqrt{3}）}^{2}+1}$=$\frac{10}{13}$．      …（12分）

点评 本题考查了三角函数的化简与求值问题，是中档题．