Question

已知函数f（x）=x²+4ax+2a+6
（1）若函数f（x）的值域为[0，+∞），求a的值
（2）若函数f（x）的函数值均为非负数，求f（a）=2-a|a+4|的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由于函数的值域为[0，+∞），则判别式△=0，解方程即可得到；
（2）由于函数f（x）的函数值均为非负数，则△=16a²-4（2a+6）≤0，解得a的范围，化简f（a），运用函数的单调性，即可得到．

解答： 解：（1）由于函数的值域为[0，+∞），则判别式△=16a²-4（2a+6）=0，
解得a=-1或a=

3

2

；
（2）由于函数f（x）的函数值均为非负数，
则△=16a²-4（2a+6）≤0，
解得-1≤a≤

3

2

，
则a+4＞0，f（a）=2-a|a+4|=-a²-4a+2
=-（a+2）²+6，a∈[-1，

3

2

]，
由于二次函数f（a）在x∈[-1，

3

2

]递减，
则f（

3

2

）≤f（a）≤f（-1），
即有-

25

4

≤f（a）≤5，
故函数f（a）的值域为[-

25

4

，5]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的值域的求法，考查运用函数的单调性求值域，属于中档题和易错题．