Question

【题目】关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0,1）∪（1,+∞）
【解析】解：关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0，

显然x=1，k﹣2ln1﹣k=0成立；

则方程的另一个根为x＞0且x≠1，

若k=1，则方程为x2﹣2lnx﹣1=0，

由y=x2﹣2lnx﹣1，导数为2x﹣ = ，

可得x=1为极小值点也为最小值点，

则x2﹣2lnx﹣1=0只有一解x=1．

当x＞1时，方程可化为k= ，

由f（x）= ，x＞1，

f′（x）= ，

令g（x）=2x﹣ ﹣4xlnx，x＞1，

可得g′（x）=2+ ﹣4（1+lnx）= ﹣2﹣4lnx，

显然g′（x）在x＞1递减，即有g′（x）＜g′（1）=0，

则g（x）在x＞1递减，即有g（x）＜g（1）=0，

即有f（x）在（1，+∞）递减；

同样当0＜x＜1时，f（x）递减，

且有f（x）＞0在x＞0且x≠1恒成立，

则当k＞0且k≠1时，原方程有两个不等实根．

所以答案是：（0，1）∪（1，+∞）．