Question

【题目】已知双曲线的中心在原点O，左焦点为F1 ， 圆O过点F1 ， 且与双曲线的一个交点为P，若直线PF1的斜率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y=±x
B.y=± x
C.y=± x
D.y=± x

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设双曲线的方程为 ﹣ =1（a＞0，b＞0），

圆O过点F1，且与双曲线的一个交点为P，

设P为右支上一点，右焦点为F2，

可得PF1⊥PF2，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，

直线PF1的斜率为 ，可得 = ，

解得|PF1|=3a，|PF2|=a，

再由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即有9a2+a2=4c2，即2c2=5a2=2（a2+b2），

可得3a2=2b2，

即为 = ，

可得双曲线的渐近线方程为y=± x，

即为y=± x．

故选：D．