题目内容
【题目】设集合A2n={1,2,3,…,2n}(n∈N* , n≥2).如果对于A2n的每一个含有m(m≥4)个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于4n+1,称正整数m为集合A2n的一个“相关数”. (Ⅰ)当n=3时,判断5和6是否为集合A6的“相关数”,说明理由;
(Ⅱ)若m为集合A2n的“相关数”,证明:m﹣n﹣3≥0;
(Ⅲ)给定正整数n.求集合A2n的“相关数”m的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)当n=3时,A6={1,2,3,4,5,6},4n+1=13,
①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6},
因为2+3+4+5>13,
所以5不是集合A6的“相关数”;
②A6的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6},
因为1+3+4+5=13,
所以6是集合A6的“相关数”.
(Ⅱ)考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1,n,n+1,…,2n},
B中任意4个元素之和一定不小于(n﹣1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2.
所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”;
所以当m≤n+2时,m一定不是集合A2n的“相关数”,
因此若m为集合A2n的“相关数”,必有m≥n+3,
即若m为集合A2n的“相关数”,必有m﹣n﹣3≥0;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 m≥n+3,
先将集合A2n的元素分成如下n组:
Ci=(i,2n+1﹣i),(1≤n),
对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p,
必有三组 , , 同属于集合P,
再将集合A2n的元素剔除n和2n后,分成如下n﹣1组:
Dj=(j,2n﹣j),(1≤j≤n﹣1),
对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P,必有一组 属于集合P,
这一组 与上述三组 , , 中至少一组无相同元素,
不妨设 与 无相同元素.
此时这4个元素之和为[i1+(2n+1﹣i1)+(2n﹣j4)]=4n+1,
所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3
【解析】(Ⅰ)根据相关数的定义判断即可;(Ⅱ)根据相关数的定义得到m≤n+2时,m一定不是集合A2n的“相关数”,得到m≥n+3,从而证明结论;(Ⅲ)根据m≥n+3,将集合A2n的元素分成n组,对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p,必有三组 , , 同属于集合P,不妨设 与 无相同元素,此时这4个元素之和为[i1+(2n+1﹣i1)+(2n﹣j4)]=4n+1,从而求出m的最小值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值.