题目内容
【题目】已知△ABC的直角顶点A在y轴上，点B（1，0），D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线Γ，直线BC与Γ的另一个交点为E，以CE为直径的圆交y轴于点M，N，记圆心为P，∠MPN=α，求α的最大值．
【答案】
（1）解：设C（x，y），则D（ 
， 
），A（0， ），
∴kAB=﹣ ，kAC= 
，
∵AB⊥AC，
∴﹣ =﹣1，即y2=4x，
∴点C的轨迹方程是y2=4x
（2）解：①当直线BC无斜率时，直线BC的方程为x=1，此时C（1，2），E（1，﹣2），
P与B重合，M（0， 
），N（0，﹣ ），∴∠MPN=120°；
②当直线BC有斜率时，设直线BC的方程为y=k（x﹣1），
代入y2=4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
设C（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2= 
=2+ 
，
∴|CE|=x1+x2+2=4+ ，∴圆P的半径r= 
|CE|=2+ 
，
P到y轴的距离d= 
=1+ ，
∴cos 
= 
= 
=1﹣ 
，
∵k2＞0，∴ ＜cos ＜1，
又0°＜ ＜90°，∴0°＜ ＜60°，
∴0°＜α＜120°．
综上，α的最大值为120°
【解析】（1）设C（x，y），用x，y表示出A点坐标，根据AB⊥AC列方程化简即可；（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算cos 
，得出α的范围．
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