Question

15．在直角坐标系xOy中，已知圆C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），点P在直线l：x+y-4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（ I）求圆C和直线l的极坐标方程；
（ II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|²=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），可得直角坐标方程：x²+y²=4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y-4=0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．
（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），由${ρ_1}=\frac{4}{sinθ+cosθ}，{ρ_2}=2$，又|OP|²=|OR|•|OQ|，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圆C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），可得直角坐标方程：x²+y²=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2．
点P在直线l：x+y-4=0上，直线l的极坐标方程ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），
因为${ρ_1}=\frac{4}{sinθ+cosθ}，{ρ_2}=2$，
又因为|OP|²=|OR|•|OQ|，即${ρ_1}^2=ρ•{ρ_2}$，∴$ρ=\frac{{{ρ_1}^2}}{ρ_2}=\frac{16}{{{{（sinθ+cosθ）}^2}}}×\frac{1}{2}$，
∴ρ=$\frac{8}{1+sin2θ}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．