Question

【题目】已知函数y= x2的图象在点（x0 ， x02）处的切线为l，若l也为函数y=lnx（0＜x＜1）的图象的切线，则x0必须满足（ ）
A. ＜x0＜1
B.1＜x0＜
C. ＜x0＜
D. ＜x0＜2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数y= x2的导数为y′=x， 在点（x0 ， x02）处的切线的斜率为k=x0 ，
切线方程为y﹣ x02=x0（x﹣x0），
设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的导数为y′= ，
可得x0= ，切线方程为y﹣lnm= （x﹣m），
令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣ x02 ，
由0＜m＜1，可得x0＜2，且x02＞1，
解得x0＞1，
由m= ，可得 x02﹣lnx0﹣1=0，
令f（x）= x2﹣lnx﹣1，x＞1，
f′（x）=x﹣ ＞0，f（x）在x＞1递增，
且f（2）=1﹣ln2＞0，f（ ）= ﹣ ln3﹣1= （1﹣ln3）＜0，
则有 x02﹣lnx0﹣1=0的根x0∈（ ，2）．
故选：D．
求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得x0= ，lnm﹣1=﹣ x02 ， 再由零点存在定理，即可得到所求范围．