Question

已知函数f（x）=a²x+cosx，a∈R．
（1）当a²=2时，求y=f（x）在x=

π

2

处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，π]内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）f'（x）=2-sinx，得f′(

π

2

)=2-sin

π

2

=1=k，f(

π

2

)=2×

π

2

+cos

π

2

=π，从而所求切线方程为：y-π=x-

π

2

，
（2）f'（x）=a²-sinx≥0在x∈[0，π]内恒成立，只需a²≥（sinx）_max当x∈[0，π]时，sinx≤sin

π

2

=1，故有a²≥1，从而a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

解答： 解：（1）a²=2时，f（x）=2x+cosx，
∴f'（x）=2-sinx，
∴f′(

π

2

)=2-sin

π

2

=1=k，
f(

π

2

)=2×

π

2

+cos

π

2

=π 
所求切线方程为：y-π=x-

π

2

，
即：2x-2y+π=0．
（2）f'（x）=a²-sinx≥0在x∈[0，π]内恒成立，
只需a²≥（sinx）_max
当x∈[0，π]时，sinx≤sin

π

2

=1，故有a²≥1，
∴a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．