Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=

π

4

以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ 根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意可得直线的方程为

x=1+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

，代入曲线方程化简求得t₁ 和t₂ 的值，可得|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即 ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程为 x²+（y-2）²=4，
表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．
（Ⅱ）由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=

π

4

，可得直线的方程为

x=1+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

．
把直线方程代入曲线方程化简可得 (1+

2

2

t)2+(1+

2

2

t)2-4（1+

2

2

t），
解得 t₁=

2

，t₂=-

2

，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=2．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，参数的几何意义，属于基础题．